【20世紀美國數學家●沙姆威克(SamuelWilks)】

楊籍富

【20世紀美國數學家●沙姆威克(SamuelWilks)】

 

出生年代：1884~1994

國籍：美國

生平： 伯克霍夫的父親是一位物理學家，從1896到1902年，他在芝加哥的劉易斯學院(及現在的伊利諾伊理工學院)求學；

 

然後升學到芝加哥大學，肄業一年後轉學到哈佛大學，在那裡於1905年和1906年先後得到學士學位和碩士學位；

 

接著又回到芝加哥大學當研究生，於1907年獲得博士學位。

 

隨後去威斯康星大學做了兩年講師。

 

1908年，伯克霍夫和M.格拉費(Grafius)小姐結婚，她是一位有名的賢妻良母。

 

伯克霍夫一生的成就在很大程度上依賴於夫人對他事業的理解與鼓勵，他們的兒子加勒特(Garret)後來也成為著名的數學家。

 

芝加哥的E.H.穆爾(Moore)教授和哈佛的M.博歇(Bocher)教授都是伯克霍夫的良師。

 

但是，伯克霍夫的真正導師是J.H.龐加萊(Poincare)。

 

通過傾心攻讀後者的著作，她繼承了龐加萊在分析學和動力系統領域中的問題和研究方法，並且做出了重大的的發展。

 

他們在科研領域內都是善於開發新天地的先趨者。

 

伯克霍夫於1909年到普林斯頓大學任教。

 

為了抵制哈佛大學對伯克霍夫的招聘，普林斯頓大學於1911年破格提昇他為正教授。

 

但是，他認為哈佛大學的學術環境對他的研究工作更有利，因此情願去那裡做一位助教授，直到1919年才提升為正教授。

 

在1932年哈佛大學授於他以潘金斯(Perkins)數學教授為名的榮譽，並在1935到1939年期間委任他為文理學院院長。

 

在1924-1926柏克霍夫擔任美國數學學會主席，而在1936到1937年他是美國科學促進會主席。

 

伯克霍夫醫生曾獲取了許多世界性的數學獎，他是美國數學界公認的一位傑出的領袖。

 

但是，由於他是一個只醉心於數學研究的人，再政治上有時不免發表一些脫離現實生活和出爾反爾的觀點，這不免使不了解他的人們產生某種誤解。

 

伯克霍夫一貫主張在數學上創造性和發現新結果比數學體系的整理和解釋更加重要。

 

他和當時的L.迪克森(Dickson)與穆爾等一代美國數學家的工作雖沒有歐洲的那種完美程度，卻富有美國特色---充滿著活力、進取性和創造精神。

 

實際上，是他們用自己的成就和堅毅的個性宣告了美國數學已經進入世界前例。

 

伯克霍夫也是一位有名的教育家，他誨人不倦，從不計較在教學上多花時間會損害科研的進展。

 

他具有出色的講課藝術，能使整個課堂生動活躍；

 

為了解答學生們的疑問，寫了許多深入淺出和富有啟發性的講義。

 

當年哈佛大學數學系的許多優秀博士都是他的門生。

 

另外，在1929年前後伯克霍夫還講授了幾遍初等幾何，並在1932年提出了以比例尺和半圓分度規為基準的初等幾何學的五條公理。

 

在1940年他又和R.比特利(Beatley)合作寫了一本初等幾何學的書，對當時美國的幾何教學起了促進的作用。

 

伯克霍夫在數學上的成就是多方面的。

 

以下我們將做一扼要的介紹a)他把斯圖姆(Sturm)---劉維爾(Liouville)的二階線性微分方程的自伴邊值問題的特徵理論推廣到n階線性微分方程的非自伴邊值問題的情形；

 

b)再1917年他給出一個簡單原理：在函數空間中任何正交函數組必是完全的，只要他可以(再伯克霍夫的意義下)任意逼近該空間的一個完全基。

 

並且他把這個原理應用於特徵函數系。

 

這一概念是後來他的學生M.斯通(Stone)著名的線性算子理論的雛形；

 

c)對具有非正則奇點的解析線性微分方程組，他引進典則微分方程組及其等價性的概念，並在一般情況下得到了矩陣解的漸進公式和任意階非正則奇點的本質的特徵量。

 

在這個基礎上他解決了著名的廣義黎曼問題；

 

d)他又把廣義黎曼問題推廣到差分方程，這個是美國人對差分方程的最早貢獻；

 

伯克霍夫的主要興趣在動力系統。

 

可以把他的動力系統理論分成形式的和非形式的兩部分，而後者又包括拓卜的內容和度量的內容。

 

e)他研究實解析的哈密頓(Hamilton)系統和對應於週期軌道的廣義靜止點，解決了早先龐加萊提出的一個問題，即廣義靜止點的一階形式穩定性(即所有特徵乘數都是純虛數)蘊含形式三角級數的穩定性(即可用三角多項式任意逼近系統的解)；

 

f)他證明了龐加萊提出的最後一個幾何定理，轟動了當時的數學界。

 

1912年龐加萊在去世前不久宣佈了一個對限制三體問題的研究十分重要而未加一般證明的幾何不動點定理。

 

年輕的伯克霍夫在1913年對龐加萊的最後幾何定理給出一個非常漂亮的證明，並作了比較確切的陳述："設半徑分別為a和b的兩個同心圓C(a)、C(b)(a＞b＞0)圍定一個環域A。

 

令T是一個以A到A的表面積的一對一的連續變換，它把C(a)上的點按正向轉動，而把C(b)上的點按負向轉動。

 

那未變換T在A內至少有二個不動點"；

 

g)1912年他對動力系統引進了一些新概念：運動的α極限點和ω極限點，回復運動和極小集。

 

而且在一般條件下證明了它們的存在性。

 

這些工作開創了動力系統的新篇章。

 

後來，他又引進了遊蕩點，中心集和拓卜傳遞性的概念。

 

1928年他和P.史密斯(Smith)定義了流的度量傳遞性，它要求流在緊致相空間M中的任何不變子集的測度等於0或全空間M的測度。

 

可以證明，度量傳遞性蘊含拓卜傳遞性(即在空間M中至少有一個稠密的軌道)。

 

這裡蘊含著許多迄今仍須探究的大問題。

 

例如，M.莫爾斯(Morse)在1973年指出，在一個緊致的解析流形上不知拓卜傳遞性是否蘊含度量傳遞性；

 

不解決這個問題就難能對伯克霍夫的各種經歷定理的重要性做出正確的評價。

 

伯克霍夫的這些概念和他的符號動力系統與拓卜動力系統構成了現代動力系統的主體。

 

而他的其他概念，例如極小極大原理和曲面變換的不動點定理孕育了拓卜學和大範圍分析學日後某些重大的發展；

 

h)他改進了B.庫普曼(Koopman)和馮.諾伊曼(vonNeumann)的某些不成熟的概念，建立了他的著名的各種經歷定理。

 

我們用目前通行的形式把這定理敘述如下："設在緊致空間M上有一個流及其一個不變的有限測度mes（。）令f是M上的一個可積函數，則幾乎對M內所有的點P，極限是存在的"。

 

順便對這個定理作一個幾何解釋：若f表示M的任何一個可測集V的特徵函數，則上式積分表示以P點出發的動點P(t),在0≦t≦T內停留在集合V中的時間。

 

伯克霍夫證明了，當系統是度量傳遞時，幾乎所有的點P，上述極限等於mes(V)和mes(M)之比。

 

還有許多數學家，例如N.維納(Wiener)，A.溫特納(Wintner)，E.霍普夫(Hopf)和小伯克霍夫等，對這種經歷的理論做了推廣和應用。

 

最後應該指出，伯克霍夫的興趣是相當廣泛的。

 

他曾花了許多時間從事"音樂測度"的探討，寫了幾篇學術性的音樂論文。

 

他曾對一位專業音樂家說，應該研究數學，因為自然界只能在數學中得到和諧的理解。

 

另外，伯克霍夫在普林斯頓參加維布倫(Veblen)的拓卜討論班時，對四色問題進行了研究，寫了兩篇論文。

 

他首先想到用解析函數論的方法對四色問題作定量的研究，為此引進了一個"著色多項式P(x)"，並與後來的H.惠特尼(Whitney)推導出P(x)的許多性質，可惜未能最後證明關鍵的一步：P(4)＞0。

 

另外，由於受A.愛因斯坦著作的影響，伯克霍夫與R.蘭格(Langer)再1923年合作寫了一本相對論和現代物理學的書，書中提出了"完全流體"的概念，建立了不同於愛因斯坦的相對論。

 

它可以解釋幾個使古典力學陷入困境的難題，但卻無法解決引力質量和慣性質量的統一性。

 

這是他們建立在線性座標戲中的相對論的一個不可避免的弱點。

 

這本書雖未能使物理學家(甚至數學家)信服，但在當時曾引起了科學界的極大興趣。

 

資料出處：世界著名數學家傳記(下)；

 

P.1361~1365編輯者：林志偉

 

引用：http://140.128.17.1/mkuo/%E6%95% ... 0/america.htm#Maria