【中華百科全書●科學●解析函數】

楊籍富

【中華百科全書●科學●解析函數】

 

解析函數，又名正則或全形函數，解析函數論開創於西元十八世紀瑞士數學家有樂(L.Euler)，並在十九世紀法國數學家蔻奇(A.L.Cauchy)的努力經營下，已成為一門內容豐富且結構美麗的學科，是今日研究數學分析不可或缺的一環。

 

在本文中，我們僅扼要介紹一下解析函數的意義與其相關的一些基本性質。

 

設D為複數平面中的一個開集，並設f(z)為定義於D上的一個複數值函數，若對D中任一點z，極限（方程式１）均存在且為有限，則f(z)稱為在D上的一個解析函數，其中f'(z)稱為f(z)的導函數。

 

解析函數f(z)有如下四個重要結論，是任何接觸解析函數論的人，所應知道的基本事實：一、設f(z)=u(x,y) iv(x,y)，其中z=x iy,u(x,y)與v(x,y)分別為f(z)的實部與虛部，則u與v在D中可全微分且滿足Cauchy-Riemann方程：（方程式２）二、Cauchy積分定理：設C為D中一個可求長的Jordan閉曲線，使得其內部亦合於D中，則（方程式３）。

 

三、Cauchy積分公武：設C為D中一個可求長的Jordan閉曲線，使得其內部亦合於D中，則對C內部中任一點z，（方程式４）。

 

四、在D中任一點a的鄰域，f(z)均可展開成冪級數（方程式５）。

 

所應注意者，上述四條件中，任何一個其實均等價於f(z)的解析性。

 

（何清人）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10385