【中華百科全書●科學●圓錐曲線】

楊籍富

【中華百科全書●科學●圓錐曲線】

 

設一圓錐（Cone）直立如圖一，今取一平面與圓錐相截，所得截痕或為橢圓（Ellipse），或為拋物線（Parabola），或為雙曲線（Hyperbola），視所取平面傾斜的情況而定。

 

要描述這種曲線，第一步便是找出它的特徵性質，再求出其代數方程。

 

以橢圓的情況為例：設平面π與圓錐相截於橢圓C，取一球O1，切圓錐於圓C1，且切平面π於一點F，又取另一球O2，切圓錐於圓C2，且切平面π於另一點F'，今設P為C上任一點，取過P的母線OP，分別交C1、C2於M、N，則：？

 

=定長K（不因P在C上位置而異）。

 

另一方面，注意PF與PM同為自P向球O1所作的切線，故：（方程式１）同理，（方程式２），所以（方程式３）＝定長K這便是橢圓的特徵性質，也就是說，在平面上一個「橢圓」便是：到該平面上某給定兩點距離和為定長的點的軌跡。

 

利用這個特徵性質，容易算得：設所給兩點坐標為：F=(a,o)F'=(-a,o)則橢圓的方程式應為：（方程式４）其中，這方程稱為橢圓的標準方程。

 

與上述的情況相仿，可求得雙曲線的標準方程為：（方程式５）又拋物線的標準方程為：y2=4cx如果上述橢圓、雙曲線與拋物線等，是隨意的置放於坐標平面上，則它們的方程，便沒有那樣簡潔，可是它們都是二元二次方程式：Ax2 2Bxy Cy2 2Dx 2Ey F=0而我們知道：一、當B2-AC<0時，這方程代表橢圓（含點橢圓及虛橢圓）。

 

二、當B2-AC=0時，這方程代表拋物線（含平行兩直線，重合兩直線的特異情況）。

 

三、當B2-AC>0時，這方程代表雙曲線（含相交兩直線的特異情況）。

 

所以，也有人直接叫「圓錐曲線」（ConicSections）為「二次曲線」。

 

最早對圓錐曲線作較深入探討的，應推古希臘時期的傑出幾何學家Apollonius（西元前二六二~前一九○年）。

 

在他之前，AristaeustheElder、歐幾里得（Euclid），與阿基米德（Archimedes）都已作過一些研究，Apollonius則集其大成。

 

著圓錐曲線（ConicSections）。

 

有系統地探討圓錐曲線的各種性質。

 

他將三種主要的圓錐曲線分別命名為Ellipse、Parabola與Hyperbola是有數學意義的。

 

考慮正焦弦長l，設A為圓錐曲線C的頂點，AX為其對稱軸（長軸或貫軸），今設P為C上任一點，作PQ垂直於AX，在直線PQ上取一點S，使得：（方程式６）則當C為拋物線時，（方程式７），兩端「相等」（乃Parabole的原意），而當C分別為橢圓與雙曲線時，？

 

較之於l，按序有「虧」（Ellipsis）與「盈」（Hyperbole）的現象。

 

到西元十六世紀，笛卡爾（RenéDescartes，一五九六~一六五○）與費瑪（Fermat）建立解析幾何以後，圓錐曲線的幾何性質便能通過其方程式，化成代數問題來解決，古希臘人對圓錐曲線所做艱深複雜的工作，便也變得簡潔易明。

 

（黃武雄）

 

引用：http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10383