【中華百科全書●科學●向量】
本帖最後由 楊籍富 於 2012-12-27 18:44 編輯 <br /><br /><P align=center><STRONG><FONT size=5>【<FONT color=red>中華百科全書●科學●向量</FONT>】</FONT></STRONG></P> <P><STRONG>向量就是有方向的量，例如物理中之速度，不僅有大小，而且有方向，故為向量。</STRONG></P>
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<P><STRONG>同理加速度、位移與力等均為向量。</STRONG></P>
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<P><STRONG>在幾何上，只要規定線段之方向即得向量；</STRONG></P>
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<P><STRONG>換言之，向量可用有向線段表示之。</STRONG></P>
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<P><STRONG>今設線段之兩端點為P、Q，自P至Q方向為其正向，則得一有向線段，記此有向線段為？</STRONG></P>
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<P><STRONG>，稱之為以P為起點。</STRONG></P>
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<P><STRONG>以Q為終點之向量。</STRONG></P>
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<P><STRONG>若P、Q兩點重合，則稱？</STRONG></P>
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<P><STRONG>為零向量。</STRONG></P>
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<P><STRONG>顯見零向量無固定之方向，為便於運算計，常規定其與所給之向量垂直。</STRONG></P>
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<P><STRONG>在平面上取定一個坐標系，在此坐標系中，若(方程式1)則向量？</STRONG></P>
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<P><STRONG>由二點之坐標差y1－x1，y2－x2唯一決定。</STRONG></P>
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<P><STRONG>因而可記作(方程式2)（1）令y1－x1＝a1，再記y2－x2＝a2，則（1）可書為(方程式3)（2）若一向量之起點為原點，則稱之為位置向量，若一向量之長度為1，則稱之為單位向量。</STRONG></P>
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<P><STRONG>設沿x軸正向之單位向量為？</STRONG></P>
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<P><STRONG>沿ｙ軸正向之位向量為？</STRONG></P>
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<P><STRONG>且均為位置向量。</STRONG></P>
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<P><STRONG>見附圖(圖1)，則（2）又可書為(方程式4)（3）稱？</STRONG></P>
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<P><STRONG>為平面上標準正交基。</STRONG></P>
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<P><STRONG>又由附圖(見圖1)易知？</STRONG></P>
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<P><STRONG>在ｘ軸上之分量為a1，在ｙ軸上之分量為a2，今記？</STRONG></P>
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<P><STRONG>之長為？</STRONG></P>
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<P><STRONG>則由勾股弦定理得(方程式5)（4）記號？</STRONG></P>
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<P><STRONG>亦稱為？</STRONG></P>
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<P><STRONG>之絕對值。</STRONG></P>
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<P><STRONG>再由附圖易得(方程式6)（5）稱（5）中之cosα1，cosα2，為？</STRONG></P>
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<P><STRONG>之方向餘弦。</STRONG></P>
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<P><STRONG>由此可知，向量？</STRONG></P>
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<P><STRONG>之大小由（4）決定，而其方向由（5）決定。</STRONG></P>
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<P><STRONG>設c為實數，(方程式7)，(方程式8)則由幾何圖形可以導出其適合下列之線性運算：(方程式9)上述之事實，很容易擴充到空間中。</STRONG></P>
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<P><STRONG>設(方程式10)為空間中事先取定之一組標準正交基，通常取(方程式11)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>若向量？</STRONG></P>
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<P><STRONG>在此組基上之分量各為a1，a2，a3，則(方程式12)（6）今設？</STRONG></P>
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<P><STRONG>與？</STRONG></P>
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<P><STRONG>之夾角為αi，則(方程式13)。</STRONG></P>
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<P><STRONG>故？</STRONG></P>
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<P><STRONG>在？</STRONG></P>
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<P><STRONG>上之分量乃由？</STRONG></P>
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<P><STRONG>之方向餘弦決定之。</STRONG></P>
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<P><STRONG>因而視所取之標準正交基不同，？</STRONG></P>
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<P><STRONG>在該基上之分量亦隨之而異。</STRONG></P>
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<P><STRONG>今取另一組基為？<BR></STRONG></P>
<P><STRONG>並設？</STRONG></P>
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<P><STRONG>在此組基上之分量為(方程式14)，則(方程式15)（7）由立體幾何易知（6）與生俱來（7）適合下列之變換方程式：(方程式16)（8）式中cij為？</STRONG></P>
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<P><STRONG>與？</STRONG></P>
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<P><STRONG>間夾角之餘弦。</STRONG></P>
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<P><STRONG>應用性質（8）以定義向量，比較容易推廣至ｎ維空間（n？</STRONG><STRONG>2）。</STRONG></P>
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<P><STRONG>在計算上常用行矩陣或列矩陣以表向量，即視其分量為矩陣中之元素，例如：(方程式17)則（8）可書為(方程式18)（9）（9）顯較（8）簡便，其中C為３×３矩陣，即(方程式19)向量之數積：設(方程式20)則稱(方程式21)（10）為？</STRONG></P>
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<P><STRONG>之數積，由此定義可得下列各性質：一、(方程式22)二、(方程式23)三、(方程式24)四、(方程式25)五、(方程式26)六、(方程式27)以上各性質之證明甚易，故證明從略。</STRONG></P>
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<P><STRONG>向量之向量積：設(方程式28)則稱(方程式29)（11）為？</STRONG></P>
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<P><STRONG>之向量積。</STRONG></P>
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<P><STRONG>便為於記憶，（11）式亦可書為(方程式30)（12）由（11）或（12）很易導出下列各性質：一、(方程式31)二、(方程式32)三、(方程式33)四、(方程式34)(方程式35)五、(方程式36)六、(方程式37)其中θ為？</STRONG></P>
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<P><STRONG>與？</STRONG></P>
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<P><STRONG>之夾角，顯見？</STRONG></P>
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<P><STRONG>與？</STRONG></P>
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<P><STRONG>之向量積仍為向量，其大小為由？</STRONG></P>
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<P><STRONG>形成之平行四邊形之面積，而其方向乃按右手律由？</STRONG></P>
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<P><STRONG>抓到？</STRONG></P>
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<P><STRONG>拇指之正向。</STRONG></P>
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<P><STRONG>向量函數之微分與積分：設(方程式38)（13）則稱？</STRONG></P>
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<P><STRONG>為向量質函數，簡稱為向量函數。</STRONG></P>
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<P><STRONG>若fi（t）可微或可積，則？</STRONG></P>
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<P><STRONG>亦可微或可積。</STRONG></P>
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<P><STRONG>且(方程式39)（14）(方程式40)（15）由（14）與（15）可得下列諸公式，證明從略：一、(方程式41)二、(方程式42)三、(方程式43)四、(方程式44)五、(方程式45)六、(方程式46)七、(方程式47)八、(方程式48)九、(方程式49)（夏文侯）</STRONG></P>
<P><STRONG></STRONG> </P>引用：<A href="http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10180" target=_blank>http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=10180</A>
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